Question

椭圆C中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）已知直线l（l不垂直于x轴）交椭圆C于P、Q两点，若，求证：点O到直线l的距离是．

Answer

（I）先设椭圆的标准方程，根据离心率得到a，c的关系，再由椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为可得到点（c，）在椭圆上，代入可得到b的值，再结合离心率可得到a，c的值，从而得到椭圆C的标准方程．
（II）先设点P、Q的坐标，然后联立直线和椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，从而得到两根之和与两根之积的关系式，进而可表示出y1y2的关系式，再由可得到，整理可得到，然后表示出点O到直线l的距离再将代入即可求出点O到直线l的距离为定值，从而得证．
【解析】
（I）设椭圆，因为，
在椭圆上，则，解得b=1
，圆的方程为
（II）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）由
，

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
==
因为，，
即
点O到直线l的距离
即点O到直线l的距离为定值