Question

某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x（x≥12）层，则每平方米的平均建筑费用为Q（x）=3000+50x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）

Answer

【方法一】：设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，由平均建筑费用Q（x）=3000+50x，平均购地费用==；代入即得f（x），（其中x≥12，x∈N）； 因为f（x）=50x++3000，可以应用基本不等式法，即a+b≥（a＞0，b＞0）求得f（x）的最小值及对应的x的值；
【方法二】：同方法一可得因为f（x）=50x++3000，用求导法，对f（x）求导，令f′（x）=0，从而得x及f（x）的最小值．
【解析】
设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，依题意得（x≥12，x∈N）
【方法一】因为；
当且仅当上式取”=”；
因此，当x=20时，f（x）取得最小值5000（元）．
所以，为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费最小值为5000元
【方法二】因为；
令f′（x）=0（其中x＞0），得x=20；当0＜x＜20时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；当x＞20时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；所以，当且仅当x=20时，f（x）有最小值，为f（20）=5000；即为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费最小值为5000元．