Question

设f（x）是定义在[a，b]上的函数，用分点T：a=x＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…x_n=b将区间[a，b]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得和≤M（i=1，2，…，n）恒成立，则称f（x）为[a，b]上的有界变差函数．
（1）函数f（x）=x²在[0，1]上是否为有界变差函数？请说明理由；
（2）设函数f（x）是[a，b]上的单调递减函数，证明：f（x）为[a，b]上的有界变差函数；
（3）若定义在[a，b]上的函数f（x）满足：存在常数k，使得对于任意的x₁、x₂∈[a，b]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤k•|x₁-x₂|．证明：f（x）为[a，b]上的有界变差函数．

Answer

（1）利用函数在[0，1]是增函数，去掉绝对值，将连和符号用函数值的和表示出，求出值为，取M大于等于此值，满足有界变差函数的定义
（2）利用函数为减函数，将连和符号中的绝对值符号去掉，将连和用函数值的差表示出，求出连和的值，将M取此值，满足有界变差函数的定义．
（3）利用已知不等式，将函数值差的连和表示成自变量差的连和，去掉绝对值，将连和写成自变量差的和形式，求出连和的值，找到M，满足有界变差函数的定义．
【解析】
（1）∵f（x）=x2在[0，1]上是增函数∴对任意划分Tf（xn）＞f（xn-1）
|f（xi）-f（xi-1）|=f（x1）-f（x）+…+f（xn）-f（xn-1）=f（1）-f（0）=1
取常数M≥1，则和式（i=1，2，3…n）恒成立
所以函数f（x）在[0，1]是有界变差函数
（2）∵函数f（x）是[a，b]上的单调递减函数
任意的划分T，Ta=x＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn=b
∴+f（xn）
∴一定存在一个常数M＞0，使f（a）-f（b）≤M
故f（x）为[a，b]上有界变差函数
∵|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|
∴对任意的划分T，a=x＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn=b
==k（b-a）
取常数M=k（b-a）
由有界变差函数定义知f（x）为有界变差函数．