Question

设{a_n}是由正数组成的等差数列，S_n是其前n项和
（1）若S_n=20，S_2n=40，求S_3n的值；
（2）若互不相等正整数p，q，m，使得p+q=2m，证明：不等式S_pS_q＜S_m²成立；
（3）是否存在常数k和等差数列{a_n}，使ka_n²-1=S_2n-S_n+1恒成立（n∈N^*），若存在，试求出常数k和数列{a_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也是等差数列，得到Sn+（S3n-S2n）=2（S2n-Sn），从而可求S3n的值；
（2）SpSq=pq（a1+ap）（a1+aq）=pq[a12+a1（ap+aq）+apaq]，进而利用基本不等式可证；
（3）设an=pn+q（p，q为常数），则Kan2-1=kp2n2+2kpqn+kq2-1，
，
则 ，故有 ，由此能够求出常数 及等差数列 满足题意．
【解析】
（1）在等差数列{an}中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…成等差数列，
∴Sn+（S3n-S2n）=2（S2n-Sn）
∴S3n=3 S2n-3 Sn=60…（4分）
（2）SpSq=pq（a1+ap）（a1+aq）
=pq[a12+a1（ap+aq）+apaq]
=pq（a12+2a1am+apaq）＜（）2[a12+2a1am+（）2]
=m2（a12+2a1am+am2）=[m（a1+am）]2
=Sm2…（8分）
（3）假设存在常数k和等差数列{an}，使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立．
设an=pn+q（p，q为常数），则Kan2-1=kp2n2+2kpqn+kq2-1，
，
则 ，
故有 ，

由①得p=0或 ．当p=0时，由②得q=0，而p=q=0不适合③，故p≠0把 代入②，得 把 代入③，又 得 ，从而 ．故存在常数 及等差数列 满足题意．