Question

设有3个投球手，其中一人命中率为q，剩下的两人水平相当且命中率均为p（p，q∈（0，1）），每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ．
（1）当p=q=时，求数学期望E（ξ）及方差V（ξ）；
（2）当p+q=1时，将ξ的数学期望E（ξ）用p表示．

Answer

（1）每位投球手均独立投球一次，每次试验事件发生的概率相等，判断符合二项分布，由二项分布的期望和方差公式进行求解即可；
（2）由题意知每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ．因为三个人投球得到最多投入3个，最少0个，得到变量的可能取值，根据相互独立事件和互斥事件的公式得到概率，从而得到分布列，最后根据数学期望公式解之即可．
【解析】
（1）∵每位投球手均独立投球一次，
当p=q=时，每次试验事件发生的概率相等，
∴ξ～B（3，），由二项分布的期望和方差公式得到结果
∴Eξ=np=3×=，Dξ=np（1-p）=3×=
（2）ξ的可取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=（1-q）（1-p）2=pq2；
P（ξ=1）=q（1-p）2+（1-q）C21p（1-p）=q3+2p2q；
P（ξ=2）=qC21p（1-p）+（1-q）p2=2pq2+p3；
P（ξ=3）=qp2．
ξ的分布列为

ξ 1 2 3
P pq2 q3+2p2q 2pq2+p3 qp2

Eξ=0×pq2+1×（q3+2p2q）+2×（2pq2+p3）+3×qp2=1+p．