Question

设a∈R，把三阶行列式中第一行第二列元素的余子式记为f（x），且关于x的不等式f（x）＜0的解集为（-2，0）．各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，点列（a_n，S_n）（n∈N^*）在函数y=f（x）的图象上．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若，求的值；
（3）令，求数列{c_n}的前20项之和．

Answer

（1）由条件可知，f（x）=x2+ax，利用不等式f（x）＜0的解集为（-2，0），可求a，从而可得函数y=f（x）的解析式；
（2）利用点列（an，Sn）（n∈N*）在函数y=f（x）的图象上，可得所以Sn=+，利用当n≥2时，由=Sn-Sn-1，可得数列{an}为等差数列，从而可得an=2n，bn=22n=4n，进而可求；
（3）分n为奇数、偶数分别求和，即可求得数列{cn}的前20项之和．
【解析】
（1）由条件可知，f（x）=x2+ax…（2分）
因为关于x的不等式f（x）＜0的解集为（-2，0），所以a=…（3分）
即函数y=f（x）的解析式为f（x）=x2+x…（4分）
（2）因为点列（an，Sn）（n∈N*）在函数y=f（x）的图象上，所以Sn=+
n=1代入，a1=S1=+，即-=0，
因为a1＞0，所以a1=2；…（6分）
当n≥2时，由an=Sn-Sn-1，化简可得（an+an-1）（an-an-1-2）=0，…（8分）
因为an＞0，所以an-an-1=2，即数列{an}为等差数列，且an=2n（n∈N*）…（10分）
则bn=22n=4n，所以==2…（12分）
（3）n为奇数时，c1+c3+…+c19=a1+a3+…+a19=…（14分）
n偶数时，c2+c4+…+c20=c1+c2+…+c10=4c1+2c3+2c5+c7+c9=72…（16分）
所以，数列{cn}的前20项之和为200+72=272…（18分）