Question

如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=1，EF∥BD且KF=BD．
（Ⅰ）求证：BF∥平面ACE；
（Ⅱ）求证：平面AFC⊥平面EFC．

Answer

（Ⅰ）记AC与BD的交点为O，则DO=BO=BD，连接EO，则可证出四边形EFBO是平行四边形，从而BF∥EO，最后结合线面平行的判定定理，可得BF∥平面ACE；
（II）连接FO，在平行四边形EFOD中，根据ED∥FO结合ED⊥平面ABCD，得FO⊥平面ABCD，所以BD⊥FO，结合ABCD为正方形，可得BD⊥平面AFC．所以BD的平行线EF⊥平面AFC，最后根据面面垂直的判定定理，可得平面AFC⊥平面EFC．
【解析】
（Ⅰ）记AC与BD的交点为O，则DO=BO=BD，连接EO，（1分）
∵EF∥BD且，
∴EF∥BO且EF=BO，则四边形EFBO是平行四边形，（2分）
∴BF∥EO，
又∵EO⊂面ACE，BF⊄面ACE，
∴BF∥平面ACE； （4分）
（Ⅱ）连接FO，
∵EF∥BD且，
∴EF∥BO且EF=BO，则四边形EFOD是平行四边形．（6分）
∴ED∥FO，
∵ED⊥平面ABCD，
∴FO⊥平面ABCD（8分）
又∵BD⊂平面ABCD
∴BD⊥FO，
∵BD⊥AC，AC∩FO=O，AC、FO⊂平面AFC
∴BD⊥平面AFC（10分）
∵EF∥BD，∴EF⊥平面AFC，
∵EF⊂平面AFC，∴平面AFC⊥平面EFC．  （12分）