Question

已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足条件f（x）+f（y）=2+f（x+y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）=5．
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）求不等式f（a²-2a-2）＜3的解集．

Answer

（1）直接设x1＜x2，根据x＞0，f（x）＞2；得到f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）-2＞2+f（x1）-2=f（x1），即可得到结论；
（2）先根据已知条件得到f（1）=3，再把所求不等式转化为a2-2a-2＜1即可得到结论．
【解析】
（1）设x1＜x2，则x2-x1＞0，
∵x＞0，f（x）＞2；
∴f（x2-x1）＞2；即f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）-2＞2+f（x1）-2=f（x1），
即f（x2）＞f（x1）．
所以：函数f（x）为单调增函数
（2）∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-2=[f（1）+f（1）-2]+f（1）-2=3f（1）-4=5
∴f（1）=3．
即f（a2-2a-2）＜3⇒f（a2-2a-2）＜f（1）
∴a2-2a-2＜1⇒a2-2a-3＜0
解得不等式的解为：-1＜a＜3．