Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n=a-2ⁿ-3（a为常数），且a₁=3．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）当n=1时，a1=S1=a•2-3=3，a=3．当n≥2时，利用an=S n-Sn-1=求解．
（II）bn=n•an=3n•2n-1利用错位相消法求解即可．
【解析】
当n=1时，a1=S1=a•2-3=3，a=3
当n≥2时，an=S n-Sn-1=（3•2n-3）-（3•2n-1-3）=3•2n-1-，
且对n=1也符合，所以an=3•2n-1．
（II）bn=n•an=3n•2n-1． 3n•2n-1
Tn=3•2+6•21+…+3n•2n-1   ①
2Tn=3•21+6•22+…+3（n-1）•2n-1+3n•2n  ②
两式相减，得-Tn=3+3（21+22+…2 n-1）-3n•2n
=3+3（2n-2）-3n•2n=3（1-n）•2n-3，
∴Tn=3（n-1）•2n+3．