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函数f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a为正常数,且函数y=f(x...

函数f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a为正常数,且函数y=f(x)和y=g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行.
(1)求a的值;
(2)若存在x使不等式manfen5.com 满分网成立,求实数m的取值范围;
(3)对于函数y=f(x)和y=g(x)公共定义域中的任意实数x,我们把|f(x)-g(x)|的值称为两函数在x处的偏差.求证:函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
(1)由函数f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,我们可以求出函数y=f(x)的图象与Y轴的交点和y=g(x)的图象与X轴交点的坐标,求出两个函数的导函数后,根据函数y=f(x)和y=g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行,即两函数在交点处的导数值相等,构造关于a的方程,解方程即可求出答案. (2)由(1)中结论,我们可将不等式化为,若存在x使不等式成立,则m小于在[0,+∞)上的最大值,构造函数h(x)=,并求出其在[0,+∞)上的最大值,即可得到答案. (3)构造函数h(x)=ex-lnx,并根据导数当分析函数的单调性,然后分x≥1时和0<x<1时,两种情况分别确定函数在x处的偏差的取值范围,即可得到答案. 【解析】 (1)∵f(x)=aex, ∴f′(x)=aex, 函数f(x)=aex只于Y轴交于(0,a) 且f′(0)=a 又∵g(x)=lnx-lna, ∴g′(x)=, 又∵函数g(x)=lnx-lna只于X轴交于(a,0)点 ∴g′(a)= 又∵函数y=f(x)和y=g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行 ∴a=1 , ∴ ∵x∈(0,+∞)时,ex>1 ∴h,(x)<0,h(x)在[0,+∞)上单调递减 ∴h(x)max=h(0)=0 ∴m<0 (3)设h(x)=ex-lnx, (i)当x≥1时,h'(x)>0,有h(x)≥h(1)=e>2 (ii)当0<x<1时,设,则x+lnx=0[ 此时 所以综上有函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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