Question

在平面直角坐标平面内，不难得到“对于双曲线xy=k（k＞0）上任意一点P，若点P在x轴、y轴上的射影分别为M、N，则|PM|•|PN|必为定值k”、类比于此，对于双曲线（a＞0，b＞0）上任意一点P，类似的命题为：    ．

Answer

对于双曲线xy=k（k＞0）上任意一点P，若点P在x轴、y轴上的射影分别为M、N，则|PM|-|PN|必为定值k，由于x轴、y轴也是双曲线xy=k（k＞0）的渐近线，此时|PM|，|PN|分别表示P点到两条渐近线的距离，由此我们类比，对于双曲线（a＞0，b＞0）上任意一点P，|PM|•|PN|也必为定值，代入验证即可得到答案．
【解析】
由已知条件我们分析：
由于x轴、y轴也是双曲线xy=k（k＞0）的渐近线，
此时|PM|，|PN|分别表示P点到两条渐近线的距离，
由此我们类比推断，
对于双曲线（a＞0，b＞0）上任意一点P，
|PM|•|PN|也必为定值，
任取双曲线一点P（X，Y）
则|PM|•|PN|==
故答案为：若点P在两渐近线上的射影分别为M、N，则|PM|•|PN|必为定值