Question

已知函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1和x=3处有极值．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程．

Answer

（1）根据函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=-1和x=3处有极值，可知f′（x）=3x2+6ax+b的解为-1，3，从而可建立方程组，即可求得a，b的值；
（2）由（1）知，f′（x）=3x2-6x-9，求出切线的斜率、切点的坐标，即可得到曲线y=f（x）在x=1处的切线方程．
【解析】
（1）由题意，∵函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=-1和x=3处有极值
∴f′（x）=3x2+6ax+b的解为-1，3
∴，∴
（2）由（1）知，f′（x）=3x2-6x-9
当x=1时，f′（1）=3-6-9=-12
当x=1时，f（1）=1-3-9+1=-10
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y+10=-12（x-1），即12x+y-2=0．