已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1（n≥2且n∈N*）． ...

已知数列{a_n}中，a₁=5且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N^*）．
（1）证明：数列 manfen5.com 满分网

为等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

（1）设，===1，所以数列为首项是2、公差是1的等差数列．（2）由题设知，，所以an=（n+1）•2n+1．所以Sn=2•21+3•22+…+n•2n-1+（n+1）•2n+n．由错位相减法能够求出数列{an}的前n项和Sn．【解析】（1）∵数列为等差数列设， ===1，（6分）可知，数列为首项是2、公差是1的等差数列．（7分）（2）由（1）知，， ∴an=（n+1）•2n+1．（8分） ∴Sn=（2•21+1）+（3•22+1）+…+（n•2n-1+1）+[（n+1）•2n+1]．即Sn=2•21+3•22+…+n•2n-1+（n+1）•2n+n．令Tn=2•21+3•22+…+n•2n-1+（n+1）•2n，① 则2Tn=2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1．②（12分） ②-①，得Tn=-2•21-（22+23++2n）+（n+1）•2n+1=n•2n+1． ∴Sn=n•2n+1+n=n•（2n+1+1）．（15分）

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考点分析：

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某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1，2，…，8，其中ξ≥5为标准A，ξ≥3为标准B，产品的等级系数越大表明产品的质量越好．已知某厂执行标准B生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3   5   3   3   8   5   5   6   3   4
6   3   4   7   5   3   4   8   5   3
8   3   4   3   4   4   7   5   6   7
该行业规定产品的等级系数ξ≥7的为一等品，等级系数5≤ξ＜7的为二等品，等级系数3≤ξ＜5的为三等品．
（1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率．

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如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a， manfen5.com 满分网