Question

已知两点M（2，3），N（2，-3）在椭圆上，斜率为的直线l与椭圆C交于点A，B（A，B在直线MN两侧），且四边形MANB面积的最大值为．w
（I）求椭圆C的方程；
（II）若点N到直线AM，BM距离的和为，试判断△MAB的形状．

Answer

（I）设直线l的方程为（m∈R），代入b2x2+a2y2=a2b2得：设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1，2，y1，2∈R），则，，再由=能求出椭圆C的方程．
（II）设直线MA、MB的方程分别为y=k1（x-2）+3（5）y=k2（x-2）+3（k1，2∈R），得：（16k12+12）x2+（96k1-64k12）x+64k12-192k1-48=0，得，同理：，所以
，由此能够证明△MAB直角三角形．
【解析】
（I）设直线l的方程为（m∈R），
代入b2x2+a2y2=a2b2
得：，
设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1，2，y1，2∈R）
则，，------（3分）
又
=，
显然当m=0时，SMANB==（1）
由题意|MN|=6 （2）
4b2+9a2=a2b2（3）------（5分）
联立（1）、（2）、（3）解得：a2=16，b2=12，
即椭圆C的方程为：．（4）------（7分）
（II）设直线MA、MB的方程分别为y=k1（x-2）+3（5）y=k2（x-2）+3（k1，2∈R）
将（5）代入（4）得：（16k12+12）x2+（96k1-64k12）x+64k12-192k1-48=0------（9分）
则，
∴
∴
同理：
------（12分）
化简得：k12=k22，
∵k1≠k2，
∴k1=-k2
即直线MA与MB关于直线MN对称，
∴∠AMN=∠BMN------（14分）
∴N到直线MA与MB距离均为，
又|MN|=6，
∴∠AMN=∠BMN=，
∴．
故△MAB直角三角形．------（15分）