Question

如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AB⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG．且AB=AD=DE=DG=2，AC=EF=1．
（Ⅰ）求证：BF∥平面ACGD；
（Ⅱ）求五面体ABCDEFG的体积．

Answer

（Ⅰ）设DG的中点为M，连接AM、FM，证明BF平行平面ACGD内的直线AM，即可证明BF∥平面ACGD；
（Ⅱ）利用V多面体ABC-DEFG=V三棱柱ADM-BEF+V三棱柱ABC-MFG直接求五面体ABCDEFG的体积．
【解析】
（Ⅰ）设DG的中点为M，连接AM、FM，
则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，
所以MF∥DE，且MF=DE
又∵AB∥DE，且AB=DE∴MF∥AB，且MF=AB
∴四边形ABMF是平行四边形，即BF∥AM，
又BF⊄平面ACGD 故BF∥平面ACGD（6分）
（Ⅱ）V多面体ABC-DEFG=V三棱柱ADM-BEF+V三棱柱ABC-MFG=DE×S△ADM+AD×S△MFG
==4．（12分）