Question

已知：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ ，AA₁=2，E为棱CC₁的中点．
（Ⅰ） 求证：B₁D₁⊥AE；
（Ⅱ） 求证：AC∥平面B₁DE．

Answer

（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1．在ABCD是正方形中，AC⊥BD，结合CE⊥BD，可以证出BD⊥面ACE，从而得到BD⊥AE，利用平行线的性质得到B1D1⊥AE．
（II）取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．可以证出四边形B1FCE是平行四边形，从而CF∥B1E；然后再证四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，结合面面平行的判定定理，得到平面ACF∥平面B1DE． 最后利用面面平行的性质，得到AC∥面B1DE．
【解析】
（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵CE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CE⊥BD．
又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．---------------（3分）
∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，
∴B1D1⊥AE．---（5分）
（Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．
∵E、F是C1C、B1B的中点，
∴CE∥B1F且CE=B1F
∴四边形B1FCE是平行四边形，
∴CF∥B1E．
∵正方形BB1C1C中，E、F是CC、BB的中点，
∴EF∥BC且EF=BC
又∵BC∥AD且BC=AD，
∴EF∥AD且EF=AD．
∴四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，
∵AF∩CF=C，BE∩ED=E，
∴平面ACF∥平面B1DE．  又∵AC⊂平面ACF，
∴AC∥面B1DE．------（10分）