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如图,在直角坐标系中,中心在原点,焦点在X轴上的椭圆G的离心率为,左顶点A(-4...

如图,在直角坐标系中,中心在原点,焦点在X轴上的椭圆G的离心率为manfen5.com 满分网,左顶点A(-4,0),圆O':(x-2)2+y2=r2是椭圆G的内接△ABC的内切圆.
(Ⅰ) 求椭圆G的方程;
(Ⅱ)求圆O'的半径r;
(Ⅲ)过M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于E,F两点,判断直线EF与圆O'的位置关系,并证明.

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(Ⅰ)利用椭圆G的离心率为,左顶点A(-4,0),可求椭圆的标准方程; (Ⅱ) 可取BC⊥X轴时来研究,则可设B(2+r,y),过圆心G作GD⊥AB于D,BC交长轴于H由即 ,再由点B(2+r,y)在椭圆上,建立关于r的方程求解. (Ⅲ)设过点M(0,1)与圆相切的直线方程为:y-1=kx,由圆心到直线的距离等于半径求,与椭圆方程联立,表示出E,F和坐标,从而得到EF所在的直线的方程,再探讨圆心到直线的距离和半径的关系. 【解析】 (Ⅰ) ,a=4得,椭圆G方程为-------(5分) (Ⅱ)设B(2+r,y),过圆心o'作O'D⊥AB于D,BC交长轴于H 由得,即     (1)---------(7分) 而点B(2+r,y)在椭圆上,(2)-----(9分) 由(1)、(2)式得15r2+8r-12=0,解得或(舍去)-------(11分) (Ⅲ)直线EF与圆O'的相切 设过点M(0,1)与圆相切的直线方程为:y-1=kx(3) 则,即32k2+36k+5=0(4) 解得 将(3)代入得(16k2+1)x2+32kx=0,则异于零的解为-------(13分) 设F(x1,k1x1+1),E(x2,k2x2+1),则 则直线FE的斜率为: 于是直线FE的方程为:即 则圆心(2,0)到直线FE的距离故结论成立.------------(15分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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