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数列{bn}定义如下:对于正整数m,bm是使不等式an≥m成立中的所有n中的最小...

数列{bn}定义如下:对于正整数m,bm是使不等式an≥m成立中的所有n中的最小值
(Ⅰ)若正项数列{an}前n和为Snmanfen5.com 满分网manfen5.com 满分网与(an+1)2的等比中项,求an及bn通项;
(Ⅱ)若数列{an}通项为an=pn+q(n∈N*,p>0),是否存在p和q,使得bm=3m+2(m∈N*),如果存在,求出p和q的取值范围,如果不存在,请说明理由.
(Ⅰ)根据题中已知条件结合数列的基本性质便可求出数列an的通项公式,然后利用题中关于bn的定义便可求出数列分别讨论n为奇数和偶数时bn的表达式便可求得bn的通项公式; (Ⅱ)存在,根据题中条件先求出p、q与m的关系可知3p-1>0(或3p-1<0)不符合条件,然后3p-1=0便可求出p值,进而求得q的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)由于是与(an+1)2的等比中项,∴ 当n=1时,,∴a1=1,(2分) 当n≥2时,,由an>0,化简有an-an-1=2 所以{an}是等差数列,an=2n-1,检验当n=1时也适合,即an=2n-1(5分) 对于正整数,由an≥m,得. 根据bm的定义可知:当m=2k-1时,bm=k(k∈N*);当m=2k时,bm=k+1(k∈N*). ∴(9分) (Ⅱ)假设存在p和q满足条件,由不等式pn+q≥m及p>0,得:. ∵bm=3m+2(m∈N*),根据bm的定义可知,对于任意的正整数m 都有,即-2p-q≤(3p-1)m<-p-q对任意的正整数m都成立. 当3p-1>0(或3p-1<0)时,得(或), 这与上述结论矛盾!(13分) 当3p-1=0,即时,得,解得. ∴存在p和q,使得bm=3m+2(m∈N*); p和q的取值范围分别是,.(16分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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