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已知函数(a∈R). (Ⅰ) 当a≥0时,讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设g(x...

已知函数manfen5.com 满分网(a∈R).
(Ⅰ) 当a≥0时,讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设g(x)=x2-2bx+4.当manfen5.com 满分网时,
(i)若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求实数b取值范围.
(ii) 对于任意x1,x2∈(1,2]都有manfen5.com 满分网,求λ的取值范围.
(I)由已知中函数的意义域为R+,由已知中的函数解析式,求出导函数的解析式,分a=0,,,,a≥1五种情况分别讨论,最后综合讨论结果,即可得到f(x)的单调性; (Ⅱ)(i)由(I)的结论,我们可得当时,f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,则f(x1)≥g(x2),可转化为≥f(x2),由g(x)=x2-2bx+4,我们易由函数恒成立问题的处理方法,求出满足条件的实数b取值范围. (ii) 由(I)中结论函数f(x)在(1,2]上是增函数,函数在(1,2]是减函数,则等价于,构造函数,可得函数h(x)是减函数,根据h'(x)≤0在(1,2]上恒成立,可构造关于λ的不等式,解不等式即可得到答案. 【解析】 (Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞), 因为, 所以当a=0时,,令得x>1, 所以此时函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,在(0,1)是减函数;-----------------------------(2分) 当时,,所以此时函数f(x)在(0,+∞)是减函数; 当时,令,解得, 此时函数f(x)在是增函数,在上是减函数;----------------------------------------------(4分) 当,令,解得, 此时函数f(x)在是增函数,在上是减函数;-----------------------------------------(6分) 当a≥1,由于,令,解得0<x<1, 此时函数f(x)在(0,1)是增函数,在(1,+∞)上是减函数.--------------------------------------------(8分) (Ⅱ) (i)当时,f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意x1∈(0,2), 有,又已知存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),所以,x2∈[1,2], 即存在x∈[1,2],使,即,即, 所以,解得,即实数b取值范围是.--------------------(12分) (ii)不妨设1<x1≤x2≤2,由函数f(x)在(1,2]上是增函数,函数在(1,2]是减函数, ∴等价于, 所以 设是减函数, 所以h'(x)≤0在(1,2]上恒成立,即,解得.---------(16分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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