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已知函数(a∈R). (1)当a=1时,求f(x)在点(3,f(3))处的切线方...

已知函数manfen5.com 满分网(a∈R).
(1)当a=1时,求f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;
(2)当a>-1时,解关于x的不等式f(x)>0;
(3)求函数f(x)在[0,2]上的最小值.
(1)求得切点处的函数值与切线的斜率,即可得到切线方程; (2)比较根的大小,分类讨论,即可得到不等式的解集; (3)换元,再利用导数法,分类讨论,确定函数的单调性,从而可求函数的最小值. 【解析】 (1)当a=1时,,∴f(3)=0 ,x≠-1,∴f′(3)= 所以f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为,即3x-4y-9=0 (2)当a>0时,a(a+2)>0,故不等式的解集为(-1,0)∪(a(a+2),+∞) 当a=0时,,故不等式的解集为(-1,0)∪(0,+∞) 当-1<a<0时,-1<a(a+2)<0,故不等式的解集为(-1,a(a+2))∪(0,+∞) (3)令t=x+1,则t∈[1,3] ∴f(x)=g(t)=,g′(t)=- 若a+1=0,g(t)在t∈[1,3]上递增,故g(t)即f(x)的最小值为0 若a+1≠0,则g(t)在(0,|a+1|)上递减,在(|a+1|,+∞)上递增, ①若0<|a+1|≤1,即-2≤a≤0且a≠-1时,g(t)在t∈[1,3]上递增,故g(t)即f(x)的最小值为0; ②若1<|a+1|<3,即-4<a<-2或0<a<2,g(t)在[1,|a+1|]上递减,在[|a+1|,3]递增, 故g(t)即f(x)的最小值为g(|a+1|)=2|a+1|-(a2+2a+2); ③若|a+1|≥3,即a≥2或a≤-4时,g(t)在t∈[1,3]上递减,故g(t)即f(x)的最小值为 综上所述:f(x)min=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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