Question

已知数列{a_n}，其前n项和为S_n，对任意n∈N^*都有：S_n=ma_n+1-m（m∈R，m≠0且m≠1）．
（1）求证：{a_n}是等比数列；
（2）若S₃，S₇，S₅，构成等差数列，求实数m的值；
（3）求证：对任意大于1的实数m，S₁+S₂+S₃+…+S_n，S_3n+1+S_3n+2+S_3n+3+…+S_4n，S_7n+1+S_7n+2+S_7n+3+…+S_8n不能构成等差数列．

Answer

（1）由公式，利用题设条件能够导出an=man-man-1，由此能够证明{an}是等比数列．
（2）由S3，S7，S5构成等差数列，知：2S7=S3+S5，所以2a7=a3+a5，由此能求出实数m的值．
（3）假设S1+S2+S3+…+Sn，S3n+1+S3n+2+S3n+3+…+S4n，S7n+1+S7n+2+S7n+3+…+S8n构成等差数列，结合题设条件，由等差数列的性质能够推导出2q3nSn=q7nSn+Sn，因为此方程无解所以假设错误，由此能够证明对任意大于1的实数m，S1+S2+S3+…+Sn，S3n+1+S3n+2+S3n+3+…+S4n，S7n+1+S7n+2+S7n+3+…+S8n不能构成等差数列．
【解析】
（1）当n=1时，a1=S1=ma1+1-m，
又m≠0，且m≠1，故a1=1．
当n≥2时，Sn-1=man-1+1-m，
故an=man-man-1，即（m-1）an=man-1，
也即=≠0，
所以，{an}是以1为首项，为公比的等比数列；
（2）由S3，S7，S5构成等差数列，知：2S7=S3+S5，
即2（ma7+1-m）=（ma3+1-m）+（ma5+1-m），又m≠0，化简得：2a7=a3+a5，
令q=，则2q4-q2-1=0，得q2=1或（舍），
即q=1（舍），q=-1，
由，解得，m=．
（3）假设S1+S2+S3+…+Sn，S3n+1+S3n+2+S3n+3+…+S4n，
S7n+1+S7n+2+S7n+3+…+S8n构成等差数列，
则2（S3n+1+S3n+2+S3n+3+…+S4n）=（S1+S2+S3+…+Sn）+（S7n+1+S7n+2+S7n+3+…+S8n）
即2（ma3n+1+m-1+ma3n-2+m-1+…+ma4n+m-1）
=（ma1+m-1+ma2+m-1+…+man+m-1）+（ma7n+1+m-1+ma7n+2+m-1+…+ma8n+m-1），
化简得2m（S4n-S3n）=mSn+m（S8n-S7n），
又知，，
可得2q3nSn=q7nSn+Sn，（*）
而m＞1，所以q＞1，Sn＞0，
且1+q7n＞2＞=2q3n，故（*）无解
所以假设错误，
故对任意大于1的实数m，
S1+S2+S3+…+Sn，S3n+1+S3n+2+S3n+3+…+S4n，S7n+1+S7n+2+S7n+3+…+S8n不能构成等差数列．