Question

某种商品定价为每件60元，不加收附加税时每年大约销售80万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税p元（即税率为p%），因此每年销售量将减少p万件．
（1）将政府每年对该商品征收的总税金y（万元），表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于128万元，问税率p%应怎样确定？
（3）在所收税金不少于128万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则应如何确定p值？

Answer

（1）求出该商品年销售量，可得年销售收入，进而可得政府每年对该商品征收的总税金，并可以确定函数的定义域；
（2）根据政府在此项经营中每年收取的税金不少于128万元，建立不等式，即可求得税率；
（3）当政府收取的税金不少于128万元时，厂家的销售收入为g（p）=60×（80-p）（4≤p≤8），根据函数的单调性，即可得到结论．
【解析】
（1）由题意，该商品年销售量为（80-p）万件，年销售收入为60×（80-p）万元，
故所求函数为y=60•（80-p）•p%．
由80-p＞0，且p＞0得，定义域为（0，12）．
（2）由y≥128，得60×（80-p）•p%≥128，化简得p2-12p+32≤0，
∴（p-4）（p-8）≤0，
∴4≤p≤8．
故当税率在[4%，8%]内时，政府收取税金将不少于128万元．
（3）当政府收取的税金不少于128万元时，厂家的销售收入为g（p）=60×（80-p）（4≤p≤8）．
∴g（p）为减函数，
∴[g（p）]max=g（4）=3200（万元）．