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如图,已知抛物线C:y2=2px和⊙M:(x-4)2+y2=1,过抛物线C上一点...

如图,已知抛物线C:y2=2px和⊙M:(x-4)2+y2=1,过抛物线C上一点H(x,y)(y≥1)作两条直线与⊙M相切于A、两点,分别交抛物线为E、F两点,圆心点M到抛物线准线的距离为manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)当∠AHB的角平分线垂直x轴时,求直线EF的斜率;
(Ⅲ)若直线AB在y轴上的截距为t,求t的最小值.

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(Ⅰ)利用点M到抛物线准线的距离为,可得,从而可求抛物线C的方程; (Ⅱ)法一:根据当∠AHB的角平分线垂直x轴时,点H(4,2),可得kHE=-kHF,设E(x1,y1),F(x2,y2),可得y1+y2=-2yH=-4,从而可求直线EF的斜率; 法二:求得直线HA的方程为,与抛物线方程联立,求出E,F的坐标,从而可求直线EF的斜率; (Ⅲ)法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),求出直线HA的方程,直线HB的方程,从而可得直线AB的方程,令x=0,可得,再利用导数法,即可求得t的最小值. 法二:求以H为圆心,HA为半径的圆方程,⊙M方程,两方程相减,可得直线AB的方程,当x=0时,直线AB在y轴上的截距(m≥1),再利用导数法,即可求得t的最小值. 【解析】 (Ⅰ)∵点M到抛物线准线的距离为=, ∴,∴抛物线C的方程为y2=x.(2分) (Ⅱ)法一:∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时,点H(4,2),∴kHE=-kHF, 设E(x1,y1),F(x2,y2),∴,∴, ∴y1+y2=-2yH=-4.(5分) ∴.(7分) 法二:∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时,点H(4,2),∴∠AHB=60°,可得,, ∴直线HA的方程为, 联立方程组,得, ∵ ∴,.(5分) 同理可得,,∴.(7分) (Ⅲ)法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),∵,∴, ∴直线HA的方程为(4-x1)x-y1y+4x1-15=0, 同理,直线HB的方程为(4-x2)x-y2y+4x2-15=0, ∴,,(9分) ∴直线AB的方程为, 令x=0,可得, ∵,∴t关于y的函数在[1,+∞)上单调递增, ∴当y=1时,tmin=-11.(12分) 法二:设点H(m2,m)(m≥1),HM2=m4-7m2+16,HA2=m4-7m2+15. 以H为圆心,HA为半径的圆方程为(x-m2)2+(y-m)2=m4-7m2+15,① ⊙M方程:(x-4)2+y2=1.② ①-②得:直线AB的方程为(2x-m2-4)(4-m2)-(2y-m)m=m4-7m2+14.(9分) 当x=0时,直线AB在y轴上的截距(m≥1), ∵,∴t关于m的函数在[1,+∞)上单调递增, ∴当m=1时,tmin=-11.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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