Question

如图，已知抛物线C：y²=2px和⊙M：（x-4）²+y²=1，过抛物线C上一点H（x，y）（y≥1）作两条直线与⊙M相切于A、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；
（Ⅲ）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．

Answer

（Ⅰ）利用点M到抛物线准线的距离为，可得，从而可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）法一：根据当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），可得kHE=-kHF，设E（x1，y1），F（x2，y2），可得y1+y2=-2yH=-4，从而可求直线EF的斜率；
法二：求得直线HA的方程为，与抛物线方程联立，求出E，F的坐标，从而可求直线EF的斜率；
（Ⅲ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），求出直线HA的方程，直线HB的方程，从而可得直线AB的方程，令x=0，可得，再利用导数法，即可求得t的最小值．
法二：求以H为圆心，HA为半径的圆方程，⊙M方程，两方程相减，可得直线AB的方程，当x=0时，直线AB在y轴上的截距（m≥1），再利用导数法，即可求得t的最小值．
【解析】
（Ⅰ）∵点M到抛物线准线的距离为=，
∴，∴抛物线C的方程为y2=x．（2分）
（Ⅱ）法一：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴kHE=-kHF，
设E（x1，y1），F（x2，y2），∴，∴，
∴y1+y2=-2yH=-4．（5分）
∴．（7分）
法二：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴∠AHB=60°，可得，，
∴直线HA的方程为，
联立方程组，得，
∵
∴，．（5分）
同理可得，，∴．（7分）
（Ⅲ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴，
∴直线HA的方程为（4-x1）x-y1y+4x1-15=0，
同理，直线HB的方程为（4-x2）x-y2y+4x2-15=0，
∴，，（9分）
∴直线AB的方程为，
令x=0，可得，
∵，∴t关于y的函数在[1，+∞）上单调递增，
∴当y=1时，tmin=-11．（12分）
法二：设点H（m2，m）（m≥1），HM2=m4-7m2+16，HA2=m4-7m2+15．
以H为圆心，HA为半径的圆方程为（x-m2）2+（y-m）2=m4-7m2+15，①
⊙M方程：（x-4）2+y2=1．②
①-②得：直线AB的方程为（2x-m2-4）（4-m2）-（2y-m）m=m4-7m2+14．（9分）
当x=0时，直线AB在y轴上的截距（m≥1），
∵，∴t关于m的函数在[1，+∞）上单调递增，
∴当m=1时，tmin=-11．（12分）