Question

已知f（x）=x²ln（ax）（a＞0）．
（1）若曲线y=f（x）在x=处的切线斜率为3e，求a的值；
（2）求f（x）在[，]上的最小值．

Answer

（1）先求函数在x=处的导数，利用函数在切点处的导数的几何意义是该点处的切线的斜率，求出a值．（2）先求函数的导函数，通过讨论a的范围，讨论函数f（x）的单调性，进而根据函数的单调性和极值求函数的最小值
【解析】
（1）∵f′（x）=2xln（ax）+x2•=x[2ln（ax）+1]，
∴3e=f′（）=[2ln（a•）+1]，
解得a=1．
（2）由题知x＞0，f′（x）=x[2ln（ax）+1]，
令f′（x）=0，则2ln（ax）+1=0，得x=，
①当a≥1时，≤．
当x∈[，]时，f′（x）≥0，
∴f（x）在[，]上是增函数，
∴[f（x）]min=f（）=ln=（lna-）；
②当＜a＜1时，＜＜．
当x∈[，）时，f′（x）＜0；
当x∈[，]时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[，]上是减函数，在[，]上为增函数，
∴[f（x）]min=f（）=ln=-；
③当0＜a≤时，≥．
当x∈[，]时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[，]上是减函数，
∴[f（x）]min=f（）=elna=e（lna+）．
综上所述：当a≥1时，f（x）在[，]上的最小值为（lna-）；
当＜a＜1时，f（x）在[，]上的最小值为-；
当0＜a≤时，f（x）在[，]上的最小值为e（lna+）．