Question

已知函数f（x）=x²+kx的图象在点A（1，f（1））处的切线方程为3x-y+b=0，数列{}的前n项和为S_n，则S₂₀₀₉=    ．

Answer

先根据切线方程，确定函数的解析式，进而可求数列的通项，利用裂项法可求S2009的值．
【解析】
由题意，f′（x）=2x+k，则f′（1）=2+k，f（1）=1+k
∵函数f（x）=x2+kx的图象在点A（1，f（1））处的切线方程为3x-y+b=0
∴2+k=3，3+b=1+k
∴k=1，b=-1
∴f（x）=x2+x
∴==2（-）
∴Sn=2[（1-）+（-）+…+（-）]=2（1-）=
∴S2009=
故答案为：