Question

已知函数f（x）=x³-ax²-x+2．（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（2）若对∀x∈R，有成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）当a=1时，f（x）=x3-x2-x+2，求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数f（x）的极值；
（2）求导函数f'（x）=3x2-2ax-1，对∀x∈R，成立，可转化为对∀x∈R成立，分类讨论，利用分离参数法，可求实数a的取值范围．
【解析】
（1）当a=1时，f（x）=x3-x2-x+2，求导函数可得f'（x）=3x2-2x-1=（x-1）（3x+1），（2分）
令f'（x）=0，解得．
当f'（x）＞0时，得x＞1或；当f'（x）＜0时，得．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x 1 （1，+∞）
f'（x） + - +
f（x） 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增

（4分）
∴当时，函数f（x）有极大值，，（5分）
当x=1时函数f（x）有极小值，f（x）极小=f（1）=（16分）
（2）∵f'（x）=3x2-2ax-1，∴对∀x∈R，成立，
即对∀x∈R成立，（7分）
①当x＞0时，有，即，对∀x∈（0，+∞）恒成立，（9分）
∵，当且仅当时等号成立，∴2a+1≤2（11分）
②当x＜0时，有，即，对∀x∈（-∞，0）恒成立，
∵，当且仅当时等号成立，
∴（13分）
③当x=0时，a∈R
综上得实数a的取值范围为．（14分）