Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，，且（n=2，3，4，…）．
（1）求a₃、a₄的值；
（2）设（n∈N^*），试用b_n表示b_n+1并求{a_n}的通项公式；
（3）求证：对一切n∈N^*且n≥2，有．

Answer

（1）由a1=1，，且（n=2，3，4，…），分别令n=2，3，能够求出a3，a4．
（2）当n≥2时，，利用累乘法能够求出{an}的通项公式．
（3）当k≥2时，有，利用裂项求和法能够证明．
【解析】
（1）∵a1=1，，且（n=2，3，4，…），
∴=，
=．
（2）当n≥2时，，
累乘得．
整理得当n≥2时，，即．
又n=1时也成立，故，n∈N*．
（3）当k≥2时，有，
所以．