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若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R)是偶函数,且它的值域为...

若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=   
利用函数的定义域、值域的特点得到函数是二次函数;据函数是偶函数关于y轴对称及二次函数的对称轴公式得到方程求出a,b的值;将求出的值代入二次函数解析式求其值域验证值域是否是(-∞,4]. 【解析】 由于f(x)的定义域为R,值域为(-∞,4], 可知b≠0,∴f(x)为二次函数, f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2. ∵f(x)为偶函数, ∴其对称轴为x=0,∴-=0, ∴2a+ab=0,∴a=0或b=-2. 若a=0,则f(x)=bx2与值域是(-∞,4]矛盾,∴a≠0, 若b=-2,又其最大值为4, ∴=4,∴2a2=4, ∴f(x)=-2x2+4. 故答案为-2x2+4
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