Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx，（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有两个相等的实根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]与[3m，3n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由f（-x+5）=f（x-3），得函数的对称轴为x=1，又方程f（x）=x有两相等实根，即ax2+（b-1）x=0有两相等实根0，由此可求出a，b的值．
（2）本题主要是借助函数的单调性确定出函数在[m，n]上的单调性，找到区间中那个自变量的函数值是3m，3n，由此建立方程求解，若能解出值，说明存在，否则不存在．
【解析】
（1）∵f（-x+5）=f（x-3），∴f（x）的对称轴为x=1，
即-=1即b=-2a．
∵f（x）=x有两相等实根，∴ax2+bx=x，
即ax2+（b-1）x=0有两相等实根0，
∴-=0，
∴b=1，a=-，
∴f（x）=-x2+x．
（2）f（x）=-x2+x=-（x-1）2+≤，
故3n≤，故m＜n≤，
又函数的对称轴为x=1，故f（x）在[m，n]单调递增则有f（m）=3m，f（n）=3n，
解得m=0或m=-4，n=0或n=-4，又m＜n，故m=-4，n=0．