Question

设函数f（x）=tx²+2t²x+t-1（x∈R，t＞0）．
（I）求f （x）的最小值h（t）；
（II）若h（t）＜-2t+m对t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（I）由f（x）=t（x+t）2-t3+t-1（x∈R，t＞0），根据配方法即可求出最小值；
（II）令g（t）=h（t）-（-2t+m）=-t3+3t-1-m，对其求导后讨论即可得出答案．
【解析】
（I）∵f（x）=t（x+t）2-t3+t-1（x∈R，t＞0），
∴当x=-t时，f（x）取最小值f（-t）=-t2+t-1，
即h（t）=-t3+t-1；
（II）令g（t）=h（t）-（-2t+m）=-t3+3t-1-m，
由g′（t）=-3t2+3=0得t=1，t=-1（不合题意，舍去）
当t变化时g′（t）、g（t）的变化情况如下表：
 t  （0，1） 1  （1，2）
 g′（t） +  0 -
 g（t）  递增  极大值1-m 递减 

∴g（t）在（0，2）内有最大值g（1）=1-m
h（t）＜-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g（t）＜0在（0，2）内恒成立，
即等价于1-m＜0
所以m的取值范围为m＞1．