Question

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：①f（1）=3；②f（x）≥2对一切x∈[0，1]恒成立；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2，
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）试比较与的大小；
（Ⅲ）某同学发现：当（n∈N）时，有f（x）＜2x+2，由此他提出猜想：对一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．

Answer

（Ⅰ）对于抽象函数的最值问题，可考虑此函数的单调性；
（Ⅱ）题中条件：f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-2，令x1=x2=，得，
利用它进行放缩，可证得答案，
（Ⅲ）因为由题意可得：对x∈[0，1]，总存在n∈N，满足＜x≤．结合（I）、（II）可证得（III）．
【解析】
（Ⅰ）设x1，x2∈[0，1]，x1＜x2，则x2-x1∈[0，1]．
∴f（x1）=f[（x2-x1）+x1]≥f（x2-x1）+f（x1）-2．
∴f（x2）-f（x1）≥f（x2-x1）-2≥0．∴f（x1）≤f（x2）． （2分）
则当0≤x≤1时，f（0）≤f（x）≤f（1）． （3分）
在③中，令x1=x2=0，得f（0）≤2，由②得f（0）≥2，∴f（0）=2． （4分）
∴当x=0时，f（x）取得最小值为2；
当x=1时，f（x）取得最大值为3． （6分）
（Ⅱ）在③中，令x1=x2=，得（8分）
∴
则． （11分）
（Ⅲ）对x∈[0，1]，总存在n∈N，满足＜x≤． （13分）
由（Ⅰ）与（Ⅱ），得，又2x+2＞2•+2=+2．
∴f（x）＜x+2．
综上所述，对任意x∈[0，1]．f（x）＜x+2恒成立． （16分）