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已知边长为6的正方形ABCD所在平面外一点P,PD⊥平面ABCD,PD=8, (...

已知边长为6的正方形ABCD所在平面外一点P,PD⊥平面ABCD,PD=8,
(1)连接PB、AC,证明PB⊥AC;
(2)求PB与平面ABCD所成的角的大小;
(3)求点D到平面PAC的距离.

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(1)由几何体的结构可知证明PB⊥AC的问题可转化为证明AC⊥面PDB来证,而此线面垂直易证. (2)由题意,知PB与平面ABCD所成的角是∠PBD,△PDB是一个直角三角形,∠PBD的正切值可求. (3)点D到平面PAC的距离即棱锥D-PAC的高,而其体积易求,问题可以转化为等体积法来求, (1)证明:连接BD,交AC于O,在正方形ABCD中,AC⊥BD, 又PD⊥平面ABCD,所以,PD⊥AC,(2分) 所以AC⊥平面PBD,故PB⊥AC.(4分) (2)【解析】 因为PD⊥平面ABCD,则∠PBD就是PB与平面ABCD所成的角,(6分) 在DP、BD中,PD=8,BD=6 所以tan∠PBD= ∠PBD=arctan(8分) PB与平面ABCD所成的角的大小为arctan(9分) (3)【解析】 连接PC,设点D到平面PAC的距离为h,(10分) 则有VD-PAC=VP-ACD,即:s△PAC×h=×PD×AD×DC=36(12分) 在△PAC中,连接PO,显然PO⊥AC,PO=,又AC=6  故s△PAC==6  故h=36 h= 所以点D到平面PAC的距离为(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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