Question

已知函数，数列{a_n}满足a₁=f（1），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设b_n=a_n•a_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n，并比较S_n与．

Answer

（Ⅰ）根据a1=f（1），an+1=f（an），代入即可求得a1，a2的值；
（Ⅱ）取倒数法，证明数列是首项为3，公差为2的等差数列，即可求得求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）先裂项求和，再分类讨论，利用数学归纳法证明．
【解析】
（Ⅰ）a1=f（1）==，a2=f（a1）=f（）==；
（Ⅱ）∵，
∴
∴
∵a1=，∴=3
∴数列是首项为3，公差为2的等差数列，
∴，
∴
（Ⅲ），
∴
n=1时，S1=，=，Sn大于；
n=2时，S2=，=，Sn大于，
n=3时，S3=，=，Sn小于；
n=4时，S4=，=，Sn大于；
猜想n≥4时，Sn大于；
证明如下：①n=4时，S4=，=，Sn大于，结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即，∴2k＞6k-9
n=k+1时，有2k+1+18＞2（6k-9）+18＞6（k+1）+9，
∴，结论成立
由①②可知，结论成立．