如果关于x的方程有且仅有一个正实数解，则实数a的取值范围是．

如果关于x的方程

有且仅有一个正实数解，则实数a的取值范围是．

由函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），故我们可将关于x的方程有且仅有一个正实数解，转化为方程ax3-3x2+1=0有且仅有一个正实数解，求出函数的导函数后，分类讨论函数的单调性，即可得到答案．【解析】由函数解析式可得：x≠0，如果关于x的方程有且仅有一个正实数解，即方程ax3-3x2+1=0有且仅有一个正实数解，构造函数f（x）=ax3-3x2+1 则函数f（x）的图象与x正半轴有且仅有一个交点．又∵f'（x）=3x（ax-2）当a=0时，代入原方程知此时仅有一个正数解，满足要求；当a＞0时，则得f（x）在（-∞，0）和（，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减， f（0）=1，知若要满足条件只有x=时，f（x）取到极小值0， x=代入原方程得到正数解a=2，满足要求；当a＜0时，ax3=3x2-1，函数y=ax3 与y=3x2-1在x＞0时只有一个交点，满足题意，综上：a≤0或a=2．故答案为：a≤0或2

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考点分析：

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