Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且sinAcosB=，sinBcosA=，△ABC的外接圆半径R=3．
（1）求角C．
（2）求的值．

Answer

（1）在△ABC中，由sinC=sin（A+B）可求得sinC=，从而可求得角C；
（2）由c=2RsinC可求得c，再利用余弦定理可得a2+b2-ab=9 或  a2+b2+ab=9，再由sinAcosB=得a2-b2=3，从而可得的值．
【解析】
（1）∵在△ABC中，sinAcosB=，sinBcosA=，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=
∵0＜C＜π，
∴C=30°或150°（6分）
（2）∵C=30°或150°，△ABC的外接圆半径R=3，
∴c=2RsinC=3    （8分）
∴c2=a2+b2-2abcosC
即 a2+b2-ab=9 或  a2+b2+ab=9（9分）
又由 sinAcosB=，
得 •=
∴a2-b2=3，（11分）
∴2a2±ab-4b2=0     
解得=．（14分）