Question

已知f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2e^x．
（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（2）当m＞0时，比较f（m-1）与f（3-m）的大小；
（3）求最小的整数m（m＞1），使得存在实数t，对任意的x∈[1，m]，都有f（x+t）≤2ex．

Answer

（1）当x＜0时，-x＞0，根据x≥0时，f（x）=2ex，结合f（x）为偶函数，即可得到f（x）的解析式；
（2）根据f（x）在[0，+∞）上单调递增，将变量的绝对值加以比较，即可得到函数值的大小关系；
（3）由f（x+t）≤2ex得2e|x+t|≤2ex，从而问题转化为x-lnx-1≤t≤-x+lnx+1在[1，m]上恒成立，分别求出左边的最大值，右边的最小值，即可确定最小正整数m的值．
【解析】
（1）当x＜0时，-x＞0，∵当x≥0时，f（x）=2ex，
∴f（-x）=2e-x，
因为f（x）为偶函数，所以f（x）=2e-x，（3分）
（2）因为f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以
①当m＞2时，|m-1|＞|3-m|≥0，所以f（m-1）＞f（3-m）；
②当m=2时，|m-1|=|3-m|，所以f（m-1）=f（3-m）；
③当0＜m＜2时，0≤|m-1|＜|3-m|，所以f（m-1）＜f（3-m）；    （9分）
（3）由f（x+t）≤2ex得2e|x+t|≤2ex
∴|x+t|≤lnx+1
∴-x-lnx-1≤t≤-x+lnx+1在[1，m]上恒成立
设g（x）=-x+lnx+1，则g′（x）=，因为x∈[1，m]，所以g′（x）≤0，所以函数g（x）在[1，m]上单调减，
所以g（x）min=g（m）=-m+lnm+1，
设h（x）=-x-lnx-1，则h（x）在[1，m]上单调减，所以h（x）max=h（1）=-2，
故-2≤t≤-m+lnm+1，
要此不等式有解必有-m+lnm+1≥-2，又m＞1，所以m=2满足要求，
故所求的最小正整数m为2．