Question

设等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为d₁，d₂，d₃，则有d₁+d₂+d₃为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内的任意一点，且P到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为d₁，d₂，d₃，d₄，则有d₁+d₂+d₃+d₄为定值    ．

Answer

这是一个升维类比，线类比为面，点到直线的距离类比为点到平面的距离，面积类比为体积即可．
【解析】
由于等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，则有d1+d2+d3为定值；
证明如下：如图，△ABC是等边三角形，点P是等边三角形内部任一点．
S△APB=a•PE，S△CPB=a•PE，S△APC=a•PG，
于是S△APB+S△CPB+S△APC=a•PE+a•PF+a•PG，
即 a•PE+a•PF+a•PG=S，
PE+PF+PG=，为定值．
即d1+d2+d3=，为定值．
由线类比为面，点到直线的距离类比为点到平面的距离，面积类比为体积得到：
有d1+d2+d3+d4为定值a．
故答案为：a．