Question

若函数f（x）=x³-3a²x+1的图象与直线y=3只有一个公共点，则实数a的取值范围    ．

Answer

要使函数f（x）=x3-3a2x+1的图象与直线y=3只有一个公共点，只需利用函数的最大值或最小值与3进行比较，由于实数a的值不确定，故要分类讨论．
【解析】
求一阶导数可得f'（x）=3x2-3a2，
两个极值点分别在x=a、x=-a，
代入函数，得f（a）=-2a3+1，f（-a）=2a3+1，
当a＞0时，f（a）＞3或f（-a）＜3，得出a＜1，
当a＜0时，f（a）＜3或f（-a）＞3，得出a＞-1，
当a=0时，显然成立；
则实数a的取值范围为：-1＜a＜1，
故答案为：（-1，1）．