Question

已知函数的图象关于点P对称，且函数y=f（x+1）-1为奇函数，则下列结论：
（1）点P的坐标为（1，1）；
（2）当x∈（-∞，0）时，g（x）＞0恒成立；
（3）关于x的方程f（x）=a，a∈R有且只有两个实根．
其中正确结论的题号为（ ）
A．（1）（2）
B．（2）（3）
C．（1）（3）
D．（1）（2）（3）

Answer

由函数y=f（x+1）-1为奇函数，结合奇函数的定义列式，可证出y=f（x）的图象关于点P（1，1）对称，故（1）正确；求出函数g（x）在x∈（-∞，0）时的表达式，根据对数函数的单调性得到g（x）＜1恒成立，故（2）不正确；由以上的讨论，得到函数y=f（x）的表达式，再结合对数函数的图象与性质对f（x）的进行讨论，可得（3）也是正确的．由此不难得到正确选项．
【解析】
∵函数y=f（x+1）-1为奇函数，
∴f（-x+1）-1=-[f（x+1）-1]，即f（1+x）+f（1-x）=2，
可得y=f（x）的图象关于点P（1，1）对称，故（1）正确；
∵f（1+x）+f（1-x）=2，得f（x）=2-f（2-x）
∴当x＜1时，f（x）=g（x）=2-[1+lg（1-x）]=1-lg（1-x）
因此当x∈（-∞，0）时，lg（1-x）＞lg1=0，可得g（x）＜1
所以g（x）＞0不能恒成立，故（2）不正确；
由以上的分析可得：
结合对数函数图象与性质可得：函数y=f（x）在（1，+∞）上为增函数，在（-∞，1）上为增函数，
函数y=f（x）的图象以x=1为渐近线，且在渐近线的两侧y的取值都是（-∞，+∞）
关于x的方程f（x）=a，a∈R有且只有两个实根，故（3）正确．
综上所述，正确的选项是（1）、（3）
故选C