Question

（文）如图，已知矩形ACEF的边CE与正方形ABCD所在平面垂直，，
AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求异面直线CM与直线AB所成的角的大小；
（2）求多面体EFABCD的表面积．

Answer

（1）连接MD，可通过面面垂直得到线面垂直，从而在直角三角形中用勾股定理算出DC=CM=DM，得到△CDM是等边三角形．而根据CD∥AB，可得∠CDM即为异面直线CM与AB所成的角，得到CM与直线AB所成的角为60°；
（2）多面体EFABCD的表面积为四个全等的直角三角形，加上两个全等的等腰三角形和一个正方形，根据（1）的计算和证明的结论，得到这个表面积．
【解析】
（1）∵CD∥AB，∴∠CDM（或其补角）即为异面直线CM与AB所成的角，…（2分）
连接MD，在△CEM中，CE=EM=1，CE⊥EM
∴CM=CE2+EM2=2，
∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，CE⊥AC
∴CE⊥平面ABCD，结合CD⊂平面ABCD，得CE⊥CD
又∵Rt△CDE中，DE=，同理DF=，∴DE=DF，
∵M是线段EF的中点，∴，
∴△CDM中，DC=CM=DM=，△CDM是等边三角形，…（5分）
所以∠CMD=60°，即异面直线CM与AB所成的角为60°；…（6分）
（2）由（1）的计算，得S△CDE=S△BCE=S△ADF=S△ABF=，…（8分）
S△BEF=…（10分）
而SABCD==2
∴多面体EFABCD的表面积为：．…（12分）