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设函数f(x)=(x>0),数列{an}满足(n∈N*,且n≥2). (1)求数...

设函数f(x)=manfen5.com 满分网(x>0),数列{an}满足manfen5.com 满分网(n∈N*,且n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)n-1anan+1,若Tn≥tn2对n∈N*恒成立,求实数t的取值范围;
(3)是否存在以a1为首项,公比为q(0<q<5,q∈N*)的数列manfen5.com 满分网,k∈N*,使得数列manfen5.com 满分网中每一项都是数列{an}中不同的项,若存在,求出所有满足条件的数列{nk}的通项公式;若不存在,说明理由.
(1)由,(n∈N*,且n≥2),知.再由a1=1,能求出数列{an}的通项公式; (2)当n=2m,m∈N*时,Tn=T2m=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5++(-1)2m-1a2ma2m+1=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)++a2m(a2m-1-a2m+1)===.当n=2m-1,m∈N*时,Tn=T2m-1=T2m-(-1)2m-1a2ma2m+1==.由此入手能求出实数t的取值范围. (3)由,知数列{an}中每一项都不可能是偶数.如存在以a1为首项,公比q为2或4的数列{ank},k∈N*,此时{ank}中每一项除第一项外都是偶数,故不存在以a1为首项,公比为偶数的数列{ank}.当q=1时,显然不存在这样的数列{ank}.当q=3时,,n1=1,,.所以满足条件的数列{nk}的通项公式为. 【解析】 (1)因为,(n∈N*,且n≥2), 所以an-an-1=.(2分) 因为a1=1, 所以数列{an}是以1为首项,公差为的等差数列. 所以an=.(4分) (2)①当n=2m,m∈N*时,Tn=T2m=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5++(-1)2m-1a2ma2m+1=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)++a2m(a2m-1-a2m+1)=-=-=-.(6分) ②当n=2m-1,m∈N*时,Tn=T2m-1=T2m-(-1)2m-1a2ma2m+1=-=.(8分) 所以Tn= 要使Tn≥tn2对n∈N*恒成立, 只要使-,(n为偶数)恒成立. 只要使-,对n为偶数恒成立, 故实数t的取值范围为.(10分) (3)由an=,知数列{an}中每一项都不可能是偶数. ①如存在以a1为首项,公比q为2或4的数列{ank},k∈N*, 此时{ank}中每一项除第一项外都是偶数,故不存在以a1为首项,公比为偶数的数列{ank}.(12分) ②当q=1时,显然不存在这样的数列{ank}. 当q=3时,若存在以a1为首项,公比为3的数列{ank},k∈N*. 则=1,n1=1,=,nk=. 所以满足条件的数列{nk}的通项公式为nk=.(16分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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