Question

设函数f（x）=（x＞0），数列{a_n}满足（n∈N^*，且n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，若T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（3）是否存在以a₁为首项，公比为q（0＜q＜5，q∈N^*）的数列，k∈N^*，使得数列中每一项都是数列{a_n}中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列{n_k}的通项公式；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由，（n∈N*，且n≥2），知．再由a1=1，能求出数列{an}的通项公式；
（2）当n=2m，m∈N*时，Tn=T2m=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5++（-1）2m-1a2ma2m+1=a2（a1-a3）+a4（a3-a5）++a2m（a2m-1-a2m+1）===．当n=2m-1，m∈N*时，Tn=T2m-1=T2m-（-1）2m-1a2ma2m+1==．由此入手能求出实数t的取值范围．
（3）由，知数列{an}中每一项都不可能是偶数．如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列{ank}，k∈N*，此时{ank}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{ank}．当q=1时，显然不存在这样的数列{ank}．当q=3时，，n1=1，，．所以满足条件的数列{nk}的通项公式为．
【解析】
（1）因为，（n∈N*，且n≥2），
所以an-an-1=．（2分）
因为a1=1，
所以数列{an}是以1为首项，公差为的等差数列．
所以an=．（4分）
（2）①当n=2m，m∈N*时，Tn=T2m=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5++（-1）2m-1a2ma2m+1=a2（a1-a3）+a4（a3-a5）++a2m（a2m-1-a2m+1）=-=-=-．（6分）
②当n=2m-1，m∈N*时，Tn=T2m-1=T2m-（-1）2m-1a2ma2m+1=-=．（8分）
所以Tn=
要使Tn≥tn2对n∈N*恒成立，
只要使-，（n为偶数）恒成立．
只要使-，对n为偶数恒成立，
故实数t的取值范围为．（10分）
（3）由an=，知数列{an}中每一项都不可能是偶数．
①如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列{ank}，k∈N*，
此时{ank}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{ank}．（12分）
②当q=1时，显然不存在这样的数列{ank}．
当q=3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列{ank}，k∈N*．
则=1，n1=1，=，nk=．
所以满足条件的数列{nk}的通项公式为nk=．（16分）