Question

已知函数在[1，+∞）上为增函数．且θ∈（0，π），
（1）求θ的值；
（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）函数是为单调函数，求m的取值范围．

Answer

（1）先对函数g（x）进行求导，根据 g'（x）≥0 在x≥1时成立可得≥，根据θ∈（0，π） 可知sinθ＞0，所以sinθ=1求得θ的值．
（2）对函数f（x）-g（x）进行求导，使其为单调，需m=0时，恒小于0  成立m不等于0时对于h（x） 可变为 K（x）=mx2-2x+m=0的形式求解 进而根据对称轴求得所以使K（1）≥0则成立的条件求得m的范围．m＜0时，使K（1）≤0，所以m≤-1．综合可得答案．
【解析】
（1）求导 得到 g'（x）=-+≥0   在x≥1时成立
∴≥
∴1≥
∵θ∈（0，π）∴sinθ＞0
∴sinθx≥1
∴sinθ=1  θ=
（2）．（f（x）-g（x））′=m+-+-=m+-使其为单调
∴h（x）=m+-=，在x≥1时
m=0时  h（x）＜0恒成立．
m≠0时
对于h（x）=，令 K（x）=mx2-2x+m=0的形式求解
因为[1，+∞）上函数为增函数，所以m＞0时 对称轴x=所以使K（1）≥0则成立所以m-2+m≥0
所以m≥1
m＜0时   使K（1）≤0  所以m≤-1
综上所述 m=0或m≥1或m≤-1