Question

已知：数列{a_n}，{b_n}中，a₁=0，b₁=1，且当n∈N^*时，a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求最小自然数k，使得当n≥k时，对任意实数λ∈[0，1]，不等式（2λ-3）b_n≥（2λ-4）a_n+（λ-3）恒成立；
（3）设（n∈N^*），求证：当n≥2都有．

Answer

（1）依题意2bn=an+an+1，an+21=bn•bn+1．变形得，利用等差数列的性质求出，利用等比数列的通项公式求出公比，进一步求出通项．
（2）将an，bn代入不等式整理得：（2n-1）λ+n2-4n+3≥0，令f（λ）=（2n-1）λ+n2-4n+3，则f（λ）是关于λ的一次函数，由题意可得关于n的不等关系，解得n的取值范围，从而得到存在最小自然数k=3，使得当n≥k时，不等式（*）恒成立；
（3）由（1）得…+．从而，（n≥2），，由（dn2-dn-12）+（dn-12-dn-22）+…+（d22-d12）=…+）…+，据其特点是由一个等差数列与一个等比数列的减构成，利用分组法求出数列的前n项和即可得到证明．
【解析】
（1）依题意2bn=an+an+1，an+21=bn•bn+1．又∵a1=0，b1=1，∴bn≥0，an≥0，且，
∴（n≥2），∴数列是等差数列，又b2=4，
∴，n=1也适合．∴bn=n2，an=（n-1）n．（4分）
（2）将an，bn代入不等式（2λ-3）bn≥（2λ-4）an+（λ-3）（*）
整理得：（2n-1）λ+n2-4n+3≥0         （6分）
令f（λ）=（2n-1）λ+n2-4n+3，则f（λ）是关于λ的一次函数，由题意可得，
∴，解得n≤1或n≥3．∴存在最小自然数k=3，使得当n≥k时，不等式（*）恒成立．（8分）
（3）由（1）得…+．∴，（n≥2），
∴（10分）
由（dn2-dn-12）+（dn-12-dn-22）+…+（d22-d12）=…+）…+，
即：dn2=2（…+）…+（12分）
∵…+＜…+
=…+=＜1．
∴当n≥2时，dn2＞2（…+）．      （14分）