Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为A₁A中点．
（1）求证：A₁C∥平面EBD；
（2）求证：BD⊥A₁C；
（3）若，求三棱锥E-BDA的体积．

Answer

（1）连接AC，交BD于O点，连接OE．在△AA1C中利用中位线定理，可得EO∥A1C，再用线面平行的判定定理，得到A1C∥平面EBD；
（2）根据正棱柱的性质，证出A1A⊥BD，结合AC⊥BD，可得BD⊥平面AA1C，最后根据线面垂直的性质可得BD⊥A1C；
（3）RtRt△AA1C中，利用勾股定理算出AC=4，从而得到正方形ABCD的边长为4，可得三角形ABD面积为8，最后结合三棱锥E-BDA的高AE=2，利用锥体体积公式算出
三棱锥E-BDA的体积．
【解析】
（1）连接AC，交BD于O点，连接OE
∵正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，∴O为AC中点
又∵E为A1A的中点，∴△AA1C中，EO∥A1C
∵EO⊂平面EBD，A1C⊄平面EBD，
∴A1C∥平面EBD；
（2）∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱
∴A1A⊥平面ABCD
∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD
又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，A1A和AC是平面AA1C内的相交直线
∴BD⊥平面AA1C
∵A1C⊂平面AA1C，∴BD⊥A1C；
（3）∵Rt△AA1C中，
∴AC==4
∴正方形ABCD中，边长AB=AC=4
因此，三角形ABD的面积S=×4×4=8
∵三棱锥E-BDA的高AE=AA1=2
∴三棱锥E-BDA的体积V=×8×2=