Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，Sn=λa_n-1（λ为常数，n=1，2，3，…）．
（I）若a₃=a₂²，求λ的值；
（II）是否存在实数λ，使得数列{a_n}是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在．请说明理由
（III）当λ=2时，若数列{b_n}满足b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，3，…），且b₁=，令，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）利用Sn=λan-1，通过n=1，2，3，求出a1，a2，a3，利用a3=a22，即可求λ的值；
（II）通过反证法，假设存在实数λ，使得数列{an}是等差数列，则2a2=a1+a3，推出矛盾，所以不存在实数λ，使得数列{an}是等差数列．
（III）当λ=2时，求出数列{an}、数列{bn}的通项公式，通过，化简裂项，然后求数列{cn}的前n项和Tn．
【解析】
（I）因为Sn=λan-1，
所以a1=λa1-1，a2+a1=λa2-1，a3+a2+a1=λa3-1，
由a1=λa1-1可知λ≠1，
所以a1=，a2=，a3=，
因为a3=a22，
所以，
所以λ=0或λ=2．
（II）假设存在实数λ，使得数列{an}是等差数列，则2a2=a1+a3，
由（I）可知，，
所以，即1=0，矛盾，
所以不存在实数λ，使得数列{an}是等差数列．
（III）当λ=2时，Sn=2an-1，
所以Sn-1=2an-1-1，且a1=1，
所以an=2an-2an-1，即an=2an-1  （n≥2）．
所以an≠0（n∈N*），且（n≥2）．
所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以an=2an-1（n∈N*），
因为bn+1=an+bn（n=1，2，3，…），且b1=，
所以bn=an-1+bn-1=an-1+an-2+bn-2=…=an-1+an-2+…+a1+b1
=．
当n=1时上式也成立．
所以bn=．
因为，
所以=
因为，
所以Tn=C1+C2+…+Cn
=2
=1-
=．