Question

已知f（x）=x⁴-2ax²，若|f′（x）|≤1在区间[0，1]上恒成立，则实数a的取值集合为    ．

Answer

由题意判断 a＞0，由|f′（x）|≤1恒成立，可得a≤x2 + 恒成立，且 a≥x2 - 恒成立．令h（x）=x2 +，t（x）=x2 -，则a小于或等于h（x）的最小值，且a大于或等于t（x）的最大值，求出h（x）的最小值和t（x）的最大值，即可得到实数a的取值集合．
【解析】
∵f（x）=x4-2ax2，∴f′（x）=4x3-4ax=4x（x2-a）．
∵当x∈[0，1]时，|f′（x）|≤1，
当a≤0时，|f′（x）|=4x（x2-a），在[0，1]上是增函数，f′（0）=0，f′（1）=4（1-a）≤1，此时，a 无解．
故 a＞0．
由|f′（x）|≤1恒成立，可得-1≤f′（x）|≤1，即-1≤4x（x2-a）≤1．
化简可得-≤x2-a≤，∴a≤x2 + 恒成立，且 a≥x2 - 恒成立．
令h（x）=x2 +，t（x）=x2 -．
则a小于或等于h（x）的最小值，且a大于或等于t（x）的最大值．
由h（x）=x2 +=x2 ++≥3=3，当且仅当 x2=，即 x=时，等号成立．
∴a≤3 ①．
由于 t（x）=x2 - 在[0，1]上是增函数，故t（x）的最大值为 t（1）=，∴a≥ ②．
由①②可得实数a的取值集合为{a|≤a≤3 }，
故答案为 {a|≤a≤3 }．