Question

等差数列{a}是递增数列，前n项和为S_n，且a₁，a₂，a₅成等比数列，．
（1）求通项a_n；
（2）令b_n=，设T_n=b₁+b₂+…+b_n-n，若M＞T_n＞m对一切正整数n恒成立，求实数M、m的取值范围；
（3）试构造一个函数g（x），使恒成立，且对任意的，均存在正整数N，使得当n＞N时，f（n）＞m．

Answer

（1）设数列的公差为d，利用a1，a2，a5成等比数列，可得d=2a1，利用等差数列的求和公式及，即可确定数列的首项与公差，从而可得通项an；
（2）bn==1+-，确定Tn的范围，根据M＞Tn＞m对一切正整数n恒成立，即可求得实数M、m的取值范围；
（3）取g（x）=，则，再验证满足题意即可．
【解析】
（1）设数列的公差为d
∵a1，a2，a5成等比数列，∴
∴
∵d＞0，∴d=2a1，①
∵
∴5a1+10d=②
由①②可得a1=1，d=2
∴an=2n-1
（2）bn==1+-，
∴Tn=b1+b2+…+bn-n=1-∈[，1）
∵M＞Tn＞m对一切正整数n恒成立，
∴n∈（-∞，），M∈[1，+∞）；
（3）取g（x）=，则
∴，
又f（n）可无限接近，且对任意的m∈，均存在正整数N，使得当n＞N时，f（n）＞m．