Question

对于数列{a_n}，如果存在最小的一个常数T（T∈N^*），使得对任意的正整数恒有a_n+T=a_n成立，则称数列{a_n}是周期为T的周期数列．设m=qT+r，（m，q，T，r∈N^*），数列前m，T，r项的和分别记为S_m，S_T，S_r，则S_m，S_T，S_r三者的关系式    ．

Answer

根据数列{an}是周期为T的周期数列，m=qT+r，可得Sm=（a1+a2+…+aT）+（a1+T+a2+T+…+a2T）+…+（a1+（q-1）T+a2+（q-1）T+…+aqT）+（a1+qT+a2+qT+…+ar+（q+1）T），从而可得结论．
【解析】
∵数列{an}是周期为T的周期数列，m=qT+r，
∴Sm=（a1+a2+…+aT）+（a1+T+a2+T+…+a2T）+…+（a1+（q-1）T+a2+（q-1）T+…+aqT）+（a1+qT+a2+qT+…+ar+（q+1）T）=qST+Sr
∴Sm=qST+Sr，
故答案为：Sm=qST+Sr