Question

将两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，另一个顶点（2p，0），这样的正三角形有（ ）
A．0个
B．2个
C．4个
D．1个

Answer

根据题意和抛物线以及正三角形的对称性，可推断出两个边的斜率，进而表示出这两条直线，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形，可知当等边三角形关于x轴轴对称时，有两个．
【解析】
y2=2px（P＞0）
等边三角形的一个顶点位于（2p，0），另外两个顶点在抛物线上，
则当等边三角形关于x轴轴对称时
两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x-2p），
每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形，这样的正三角形有2个，图中黑色的两个．
两个顶点同时在抛物线上方如图中蓝色，或同时在下方各一个如图中绿色，
故选C．