Question

正数列{a_n}的前n项和S_n满足：rS_n=a_na_n+1-1，a₁=a＞0，常数r∈N．
（1）求证：a_n+2-a_n是一个定值；
（2）若数列{a_n}是一个周期数列，求该数列的周期；
（3）若数列{a_n}是一个有理数等差数列，求S_n．

Answer

（1）由rSn=anan+1-1，利用迭代法得：ran+1=an+1（an+2-an），由此能够证明an+2-an为定值．
（2）当n=1时，ra=aa2-1，故，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．
（3）因为数列{an}是一个有理等差数列，所以，化简2a2-ar-2=0，是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出Sn．
证明：（1）∵rSn=anan+1-1，①
∴rSn+1=an+1an+2-1，②
②-①，得：ran+1=an+1（an+2-an），
∵an＞0，∴an+2-an=r．…（4分）
（2）当n=1时，ra=aa2-1，
∴，
根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，，a+r，，a+2r，，…
当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，
所以r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，a，，a，，，…
所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，
当a=1时，该数列的周期是1．
（3）因为数列{an}是一个有理等差数列，
所以
化简2a2-ar-2=0，是有理数．
设，是一个完全平方数，
设为r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，an=1，Sn=n．
r≠0时（k-r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，
其中只有，符合要求，
此时，
或者，
等差数列的前几项：a，，，，…，，
因为数列{an}是一个有理等差数列是一个自然数，a=1，r=0，an=1，Sn=n，
此时，．