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正数列{an}的前n项和Sn满足:rSn=anan+1-1,a1=a>0,常数r...

正数列{an}的前n项和Sn满足:rSn=anan+1-1,a1=a>0,常数r∈N.
(1)求证:an+2-an是一个定值;
(2)若数列{an}是一个周期数列,求该数列的周期;
(3)若数列{an}是一个有理数等差数列,求Sn
(1)由rSn=anan+1-1,利用迭代法得:ran+1=an+1(an+2-an),由此能够证明an+2-an为定值. (2)当n=1时,ra=aa2-1,故,根据数列是隔项成等差,写出数列的前几项,再由r>0和r=0两种情况进行讨论,能够求出该数列的周期. (3)因为数列{an}是一个有理等差数列,所以,化简2a2-ar-2=0,是有理数,由此入手进行合理猜想,能够求出Sn. 证明:(1)∵rSn=anan+1-1,① ∴rSn+1=an+1an+2-1,② ②-①,得:ran+1=an+1(an+2-an), ∵an>0,∴an+2-an=r.…(4分) (2)当n=1时,ra=aa2-1, ∴, 根据数列是隔项成等差,写出数列的前几项:a,,a+r,,a+2r,,… 当r>0时,奇数项和偶数项都是单调递增的,所以不可能是周期数列, 所以r=0时,数列写出数列的前几项:a,,a,,a,,a,,,… 所以当a>0且a≠1时,该数列的周期是2, 当a=1时,该数列的周期是1. (3)因为数列{an}是一个有理等差数列, 所以 化简2a2-ar-2=0,是有理数. 设,是一个完全平方数, 设为r2+16=k2,r,k均是非负整数r=0时,a=1,an=1,Sn=n. r≠0时(k-r)(k+r)=16=2×8=4×4可以分解成8组, 其中只有,符合要求, 此时, 或者, 等差数列的前几项:a,,,,…,, 因为数列{an}是一个有理等差数列是一个自然数,a=1,r=0,an=1,Sn=n, 此时,.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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